一、基础定理应用概述
余弦定理与正弦定理作为三角形的两大基石，为求解相关问题提供了有力的工具。余弦定理公式：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，常被用于已知三边求角或已知两边及夹角求第三边的计算。正弦定理公式：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$，用于边角互化或求解比例关系。
二、典型问题类型及解法详述
在解决与三角形相关的问题时，我们常遇到以下几种典型问题类型：求角或边、三角形面积计算、锐角三角形的约束条件以及涉及中线的处理问题。对于求角或边的问题，我们可以结合已知条件联立正弦定理和余弦定理，通过消元法解方程来求解。在三角形面积计算中，我们常使用公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，这需要我们先通过其他方法求得必要的边长或角度。对于锐角三角形，我们需要验证所有角均为锐角以避免无效解。涉及中线的问题，我们可以利用向量或中点定理来解决。
三、易错点及解题技巧提示
在解题过程中，我们需要注意以下几个易错点：角度范围验证、齐次方程处理以及和差化积公式的应用。求角时需确认角度是否在$(0, \pi)$内，以避免多解遗漏。对于齐次方程，我们可以通过同除某变量来简化计算。在处理复杂的三角函数关系时，我们常常使用和差公式或积化和差公式来进行变形。
四、综合例题详解
题目：在△ABC中，已知$a=5$，周长为12，且满足$(a^2 + b^2 - c^2)\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}ab$，求角$C$及三角形的面积。
解答：我们通过余弦定理得到$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab\cos C$，然后代入条件方程化简得到$\sin 2C = \frac{\sqrt{3}}{2}$，由此我们可以得出$C = \frac{\pi}{6}$或$C = \frac{\pi}{3}$。由于我们需要确认所有角均为锐角，所以$C = \frac{\pi}{3}$。接下来，我们利用周长信息以及已知的边a来求得边b和边c的长度，再通过余弦定理求出另一边ab的值。我们将求得的边长代入面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$得出三角形的面积。
