一、基本对称性公式
奇偶性
反三角函数的奇偶性特征如下：
$\arcsin(-x) = -\arcsin x$
$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$
$\arctan(-x) = -\arctan x$；$\arccot(-x) = \pi - \arccot x$
这些公式揭示了反三角函数的对称性质，为我们提供了理解和应用这些函数的重要基础。
互补关系
反三角函数之间存在一种互补关系：
$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$
$\arctan x + \arccot x = \dfrac{\pi}{2}$
这些公式体现了角度的互补性质，是三角函数和反三角函数之间的重要联系。
二、与三角函数的关系
反函数性质
反三角函数的定义与三角函数紧密相连：
$\sin(\arcsin x) = x$（当 $|x| \leq 1$）
$\cos(\arccos x) = x$（当 $|x| \leq 1$）
$\tan(\arctan x) = x$；$\cot(\arccot x) = x$（定义域为全体实数）
这些公式展示了反三角函数与三角函数之间的紧密关系，是互为反函数的体现。
还原公式（需注意定义域）
在某些特定的定义域内，可以通过反三角函数还原为对应的三角函数：
当 $x \in \left[- \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$\arcsin(\sin x) = x$
当 $x \in [0, \pi]$ 时，$\arccos(\cos x) = x$
当 $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$\arctan(\tan x) = x$
这些公式为我们提供了一种将反三角函数转化为三角函数的方法。
三、相互转换公式
跨函数转换（需注意条件）
反三角函数之间可以进行相互转换：
$\arcsin x = \arctan \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (x eq \pm 1)$
这些公式为我们提供了将一种反三角函数转换为另一种反三角函数的途径，但在应用时需要特别注意条件的限制。
倒数关系
当 $x > 0$ 时，$\arctan x$ 与 $\arccot x$ 之间存在一种倒数关系：
$\arctan x = \arccot \dfrac{1}{x}$；$\arccot x = \arctan \dfrac{1}{x}$
这一关系进一步揭示了反三角函数之间的内在联系。
四、和角公式
若 $\arctan x + \arctan y$ 的和处于特定的范围内，则：
$\arctan x + \arctan y = \arctan \dfrac{x + y}{1 - xy} \quad (xy < 1)$
若 $xy > 1$，则需要根据 $x, y$ 的符号调整结果。这一公式为计算和角问题提供了便利。
五、特殊运算公式
还有一些特殊的运算公式：
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$；$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ 这些公式展示了反三角函数与基本三角函数之间的特殊关系。
在应用以上公式时，需要严格注意定义域及附加条件，以避免错误应用。
